Zar (zar). Bir zarın karşılıklı kenarlarının toplamı aynıdır. Küpün karşılıklı kenarlarının toplamı nedir?

Zarın tarihi

Zar oldukça eski bir oyundur, ancak kökeninin tarihi hala bilinmemektedir.

Sofokles bu konudaki avuç içi işini Truva kuşatması sırasında bu oyunu icat eden Palamedes adlı bir Yunan'a vermiştir. Herodot, Atys'in hükümdarlığı sırasında kemiklerin Lidyalılar tarafından icat edildiğinden emindi. Arkeologlar, elde edilen bilimsel verilere dayanarak, kazılarda bulunan kemiklerin Palamedes ve Atis'in yaşadığı dönemden daha eski bir döneme ait olması nedeniyle bu hipotezleri çürütüyor. Antik çağda kemikler, fal bakmak veya geleceği tahmin etmek için kullanılan büyülü muskalar olarak sınıflandırılıyordu. Günümüzde birçok halk kemiklerle kehanet geleneğini korumuştur.

Kuast Peter. Zar oynayan askerler (1643)

Uzmanlar, ilk zarların “büyükanne” olarak adlandırılan yabani, daha sonra da evcil hayvanların pençe eklemlerinden yapıldığını iddia ediyor. Simetrik değillerdi ve her yüzeyin kendine has özellikleri vardı.

Ancak atalarımız “sihirli” kemikler elde etmek için başka malzemeler de kullandılar. Erik, kayısı ve şeftali çekirdekleri, çeşitli bitkilerin büyük tohumları, geyik boynuzları, pürüzsüz taşlar, seramikler, yırtıcı hayvanların ve kemirgenlerin dişleri kullanıldı. Ancak kemiklerin ana malzemesi hâlâ vahşi hayvanlardan geliyordu. Bunlar boğalar, geyikler, geyikler ve karibulardı. Eski Yunanlılar arasında fildişinin yanı sıra bronz, akik, kristal, seramik, jet ve alçı ürünleri de oldukça popülerdi.

Zar oyunlarına sıklıkla sahtekarlık eşlik ediyordu. Bu, eski yazılardaki kayıtlarla kanıtlanmaktadır. MÖ altıncı yüzyılda Çin, modern kemiklerin neredeyse birebir kopyasını kullandı. Benzer düzenleri ve kübik konfigürasyonları vardı. Arkeologlar tarafından Göksel Cumhuriyet'te yapılan kazılar sırasında bulunanlar, tam olarak M.Ö. altıncı yüzyıla kadar uzanan bu oyun objeleridir. Araştırmacılar Mısır'da taşların üzerine yapılmış eski kemik çizimlerini keşfettiler. Mahabharata adı verilen Hint kutsal kitabı da zarlarla ilgili satırlar içerir.

Bu nedenle zar oynamak, güvenle en eski kumar eğlencesi olarak adlandırılabilir. Günümüzde zarlarla oynanabilecek birçok oyun icat edilmiştir.

Modern zar

Daha çok zar olarak adlandırılan modern zarlar genellikle plastikten yapılır ve iki gruba ayrılır.

İlk grup, elle yapılan en yüksek kalitede ürünleri içerir. Bu zarlar kumarhaneler tarafından barbut oynamak için satın alınır.

İkinci grup makine yapımı kemikleri içerir. Genel kullanıma uygundurlar.

Zanaatkarlar, ekstrüde edilmiş plastik bir çubuktan özel bir aletle en yüksek kalitede kemikleri keserler. Daha sonra kenarlarda derinliği birkaç milimetre olan küçük delikler açılır. Ağırlığı çıkarılan plastiğin ağırlığına eşit olan bu deliklere boya dökülür. Kemikler daha sonra tamamen pürüzsüz ve düzgün bir yüzey elde edilene kadar cilalanır. Bu tür ürünlere “düz uçlu” denir.

Bir kumarhanede genellikle kırmızı, şeffaf plastikten yapılmış düzgün noktalı zarlar bulunur. Set 5 kemikten oluşmaktadır. Geleneksel kumar evi zarları için bu iki santimetredir. Ürünlerde bıçak ve tüy olmak üzere iki tip kaburga bulunmaktadır. Bıçağın kaburgaları çok keskindir. Tüyler hafifçe keskinleştirilmiştir. Tüm zar setleri, amaçlandığı kumar kuruluşunun logosuyla donatılmıştır. Monogramın yanı sıra kemiklerin seri numaraları da var. Dolandırıcılığı önlemek için özel olarak kodlanmıştır. Kumarhanelerde geleneksel altı yüzlü ürünlerin yanı sıra çok çeşitli tasarımlara sahip dört, beş ve sekiz yüzlü zarlar da bulunmaktadır. İçbükey delikli ürünlere günümüzde neredeyse hiç rastlanmamaktadır.

Zar dolandırıcılığı

Tüm kıtalarda kazılan mezarlarda, özellikle dürüst olmayan oyunlar için yapılmış zarlar bulunur. Düzensiz bir küp şeklindedirler. Sonuç olarak, en uzun kenar en sık düşer. Şekil düzensizliği bir kenarın taşlanmasıyla elde edilir. Başka bir küp paralel yüzeye dönüştürülebilir. Bu düzensiz kemiklere "kukla kemikler" adı verilir. Bu, hile oyununun bir özelliği olarak kabul edilir ve kural olarak dolandırıcılara aittir.

Modern bir boşluk, mükemmel bir küp şekline sahip olduğundan, sıradan bir kemikten dışarıdan ayırt edilemez. Ancak boşlukta bir veya daha fazla yüzün ek ağırlığı vardır. Bu tür kenarlar diğerlerinden daha sık düşer.

Başka bir numara da kenarları çoğaltmaktır - bazıları oldukça fazla, bazıları ise tamamen yok. Sonuç olarak, bazı sayılar çok sık görünecek, bazıları ise neredeyse hiç görünmeyecek. Bu kemiklere “üst ve alt” denir. Bu tür ürünler, geniş deneyime ve oldukça hünerli ellere sahip dolandırıcılar tarafından kullanılmaktadır. Sıradan bir oyuncu, partnerinin adil olmayan bir şekilde oynadığını çoğu zaman fark etmez.

Bazı hile yapanlar normal kemiklerle çok antrenman yapıyor. Sonuç olarak gerekli kombinasyonları atabiliyorlar. Bu amaçla zarlar özel bir şekilde atılır ve bir veya iki nesnenin dikey bir düzlemde dönmesine ve istenen yüze inmesine olanak tanır.

Diğer dolandırıcılar battaniye veya palto şeklinde yumuşak bir yüzey seçerler. Böyle bir yüzeyde kemik bir makara gibi yuvarlanır. Sonuç olarak, yan kenarlar neredeyse hiç düşmez ve bu da rakip için istenmeyen kombinasyonlara yol açar.

Bir zarın gelişimi

Normal bir zarın eşit büyüklükte altı kenarı vardır. Küp üzerindeki yüzler boyunca sayılar oluşturan noktaların konumu rastgele değildir.

Kurallara göre zarın karşılıklı taraflarındaki noktaların toplamı her zaman yediye eşit olmalıdır.

Zar olasılık teorisi

Zarlar bir kez atılır

Zar atıldığında olasılığı bulmak zor değildir. Yukarıda açıklanan çeşitli hileler olmadan doğru zara sahip olduğumuzu varsayarsak, o zaman her bir yüzün düşme olasılığı şuna eşittir:

1 / 6
kesirli formda: 1/6
ondalık biçimde: 0,1666666666666667

Zarlar 2 kere atılıyor

İki zar atılırsa, her zarın istenen tarafı gelme olasılığını çarparak istenen kombinasyonu elde etme olasılığını bulabilirsiniz:

1/6 × 1/6 = 1/36

Yani olasılık 36 üzerinden 1'e eşit olacaktır. 36, istenilen sayı açıldığında elde edilebilecek seçenek sayısıdır. Tüm bu seçenekleri bir tabloya koyalım ve içinde sonucu oluşturan toplamı hesaplayalım. her iki küpün kenarları.

İki zar atıldığında gerekli miktarın gelme olasılığı:

Dikdörtgen paralel yüzlü

111. sayfanın cevapları

500. a) Bir küpün kenarı 5 cm'dir. Küpün yüzey alanını, yani tüm yüzlerinin alanlarının toplamını bulun.
b) Küpün kenarı 10 cm'dir. Küpün yüzey alanını hesaplayınız.

a) 1) 5 2 = 25 (cm2) - bir yüzün alanı
2) 25 6 = 150 (cm2) - küpün yüzey alanı
Cevap: Küpün yüzey alanı 150 cm2'dir.

b) 1) 10 2 = 100 (cm2) - bir yüzün alanı
2) 100 6 = 600 (cm2) - küpün yüzey alanı
Cevap: Küpün yüzey alanı 600 cm2'dir.

501. Küpün yüzlerine (Şek. 104) karşılıklı iki yüzdeki sayıların toplamı yedi olacak şekilde 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarını yazdılar. Küpün yanında bu sayılardan birinin belirtildiği taramalar var. Kalan sayıları girin.

502. Şekil 105 bir kalıbı ve gelişimini göstermektedir. Hangi sayı gösterilir:
a) alt kenar;
b) soldaki yan kenar;
c) arkadaki yan kenar?

a) Alt kenarda 6 sayısı bulunur.
b) Sol taraftaki yan yüzde 1 rakamı vardır.
c) Arka tarafta 2 rakamı bulunmaktadır.

503. Şekil 106'da iki özdeş zar farklı konumlarda gösterilmektedir. Küplerin alt yüzlerinde hangi sayılar gösteriliyor?

a) Alt yüzdeki sayı 5 sayısının tersidir. Bunlar a) resmine göre 6 ve 3 sayıları olamaz, b) resmine göre bunlar 1 ve 4 olamaz. Geriye sadece 2 sayısı kalır.

b) Alt yüzdeki sayı 1 sayısının tersidir. Şekil b)'ye ve önceki çözüme göre bunlar 2, 4 ve 5 olamaz. Ayrıca şekil a)'daki sayıların dizilişine bakılırsa Bu 3 sayısı olamaz. Geriye sadece 6 sayısı kalıyor.

504. Masha küpleri yapıştırmaya hazırlanıyordu ve bunun için çeşitli boşluklar çizdi (Şek. 107). Ağabeyi onun çalışmalarına baktı ve bazılarının küp geliştirme olmadığını söyledi. Küp geliştirmeleri hangi boşluklardır?

Küp boşlukları a), c) ve d) seçenekleridir.

Özellikle bunu düşündüğünüzde, kendi ellerinizle mükemmel şekilde eşit bir zar atmak oldukça zor görünebilir. zar yüzleri birbirine tamamen eşit olmalıdır. Sonuçta, ancak o zaman zar oyununun gerçekten adil ve tarafsız olduğu düşünülebilir. Ancak bu oyun aksesuarını yaratmanın zorluğu biraz abartılıyor. Kolay ve hızlı zar yapmak için bir yöntem sunuyoruz.

Zar yapma talimatları ve yüzleri.

1. Küpü yapacağımız malzemeyi seçin.

2. Bu malzemeden kenarları 1 cm olan en doğru küpü yapıyoruz.

3. Küpün kenarlarından ve köşelerinden 1 mm'ye kadar pah yapıyoruz. Aynı zamanda dosyayı 45 dereceye ayarlayın. Daha sonra ürünün cilalanması tavsiye edilir.

4. Ortaya çıkan küpün her yüzüne sayılar koyuyoruz. Sayı noktaları, bir mikro matkap kullanılarak yapılabilir veya boyayla işaretlenebilir, hatta önce delikler açılarak ve deliklerin girintileri boyayla boyanarak yapılabilir.

Sayısal gösterimler aşağıdaki sırayla uygulanır:

• üst kenara altı nokta koyun (her iki tarafa üç nokta);
• alt kısım haline gelen tam tersine bir nokta uyguluyoruz (merkezde);
• sola dört nokta koyuyoruz (köşelere);
• sağda üç (çapraz olarak) uyguluyoruz;
• Ön tarafa beş nokta koyduk (bir ünitede olduğu gibi merkezde, dört tane daha, dörtte olduğu gibi köşelerde);
• arkada iki tane olmalıdır (karşıt köşelerde).

Rakamların doğruluğunu kontrol ediyoruz. Küpün karşılıklı taraflarındaki sayıların toplamı yediye eşit olmalıdır.

5. Küpümüzü bir tarafı el değmeden bırakarak renksiz vernikle kaplayın. Diğer yüzler kuruyana kadar zarlar bu yüzde duracaktır. Daha sonra ters çevirip üzerini de kapatıyoruz.

6. Sanal zar programını indirmeniz tavsiye edilir. Bunu yapmak için bir cep telefonu alıyoruz ve üzerine BASIC bilgisayar dili tercümanını yüklüyoruz. Pek çok siteden sorunsuz bir şekilde indirilebilmektedir. Kurulu tercümanı başlatın ve şunu girin:

• 10 A%=MOD (RND (0),4)+3
• 20 EĞER A%=0 SONRA 10'A GİT
• 30 YAZDIR %40 SON

Şimdi, RUN komutunu kullanarak her çalıştırdığınızda, bu program 1'den 6'ya kadar rastgele sayılar üretecektir.

7. Eşit olup olmadıklarını kontrol etmek için zar yüzleri, bunu altı düzine rastgele sayı elde etmek için kullanırız ve ardından bunların her birinin kaç kez gerçekleştiğini sayarız. Zarın kenarları çift ise zardaki her sayının olasılığı hemen hemen eşit olmalıdır.

8. Günümüzde masa oyunları pek popüler değil. Ancak yine de gerçekleştirilme sırasını unutmayın. Oyunun yollarını gösteren bir harita çiziyoruz ya da belki de bir yerlerde mağazadan satın aldığımız bir harita var. Daha sonra her oyuncu kendi fişini başlangıç ​​alanına koyar ve oyun başlar. Zarları birbiri ardına bir daire şeklinde atıyoruz. Her oyuncunun, attığı zarın kendisine gösterdiği mesafe kadar taşını hareket ettirme hakkı vardır. Daha sonra talimatları takip ediyoruz. "Hareket atla" alanına basarsanız, bir sonraki tur için dinlenin, arka arkaya tekrar "hamleyi tekrarlayın" vb. Kazanan, cesaretini kaybetmeyen ve çipi sonunda bitiş çizgisine ilk ulaşan kişidir.

Zar olarak da adlandırılan zar, düz bir yüzeye bırakıldığında bir yüzü yukarı bakacak şekilde birkaç olası pozisyondan birini alan küçük bir küptür. Zar, şans oyunlarında rastgele sayı veya puan üretme aracı olarak kullanılır.

Zar açıklaması

Geleneksel bir kalıp, altı yüzünün her birine 1'den 6'ya kadar sayıların basıldığı bir zardır. Bu sayılar, sayılar veya belirli sayıda nokta olarak temsil edilebilir. İkincisi en sık kullanılır.

Bir çift zıt yüz üzerindeki noktaların toplamı

Görevin koşullarına göre her bir karşılıklı yüz çiftindeki puanların toplamı aynıdır.

Üzerinde 1'den 6'ya kadar sayıların yazılı olduğu yalnızca 6 yüz vardır. Tüm noktaların toplamı, formüle göre aritmetik ilerlemenin toplamı olarak belirlenir.

S(n) = (a(1) + a(n)) * n/2, burada

• n ilerlemenin terim sayısıdır, bu durumda n = 6;
• a(1) - ilerlemenin ilk terimi a(1) = 1;
• a(n), a(6) = 6'nın son terimidir.

S(6) = (1 + 6) * 6/2 = 7 *3 = 21.

Yani zardaki tüm puanların toplamı 21'dir.

6 yüz çiftlere ayrılırsa 3 çift elde edilir.

Böylece 21 puan 3 çift yüze dağıtılır, yani zarın her bir yüz çiftine 21/3 = 7 puan dağıtılır.

Bunlar aşağıdaki seçenekler olabilir:

Sorunun çözümü.

1. Bir zarın kaç yüzü olduğunu bulalım.

2. Küpün her tarafında kaç nokta olduğunu hesaplayalım.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 puan.

3. Zarın kaç çift zıt yüze sahip olduğunu belirleyin.

6: 2 = 3 çift zıt yüz.

4. Zarın her bir zıt yüzündeki puan sayısını hesaplayın.

21: 3 = 7 puan.

Cevap. Zarın her iki zıt tarafındaki puanların toplamı 7 puandır.

• Yakovleva Tatyana Petrovna, Doçent, Matematik ve Fizik Bölümü, Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Vitus Bering'in adını taşıyan Kamçatka Devlet Üniversitesi", Petropavlovsk-Kamchatsky, Kamçatka Bölgesi

Bölümler: matematik , Müfredat dışı etkinlikler

Beynin iç enerjisini uyaran, güç oyununu uyaran egzersizler
“Zihinsel kaslar” problemleri hızlı zeka ve yaratıcılıkla çözmektir.

Sukhomlinsky V.A.

Günümüzde insancıl yönelim matematik eğitiminin içeriğini genişletmektedir. Sanıldığı gibi sadece konuya olan ilgiyi arttırmakla kalmıyor, aynı zamanda öğrencinin kişiliğini geliştiriyor, doğal yeteneklerini harekete geçiriyor ve kendini geliştirmesi için koşullar yaratıyor. Bu nedenle, matematik öğretiminin insani yönü aşağıdakilere katkıda bulunur: öğrencileri manevi kültür ve yaratıcı faaliyetlerle tanıştırmak; onları buluşsal teknikler ve bilimsel araştırma yöntemleriyle donatmak; öğrencileri aktif olmaya teşvik eden ve katılımlarını sağlayan koşullar yaratmak. İnsan düşüncesi esas olarak problem oluşturmak ve çözmekten oluşur. Descartes'ı başka sözcüklerle ifade edersek şunu söyleyebiliriz: yaşamak, sorunları ortaya koymak ve çözmek demektir. Ve insan sorunları çözerken yaşar.

Zarlarla ilgili problemler, matematik öğretiminde insancıl bir yönelimin uygulanmasının bir yolu olarak düşünülebilir. Aşağıdakilere katkıda bulunurlar: mekansal hayal gücünün gelişimi; bir nesnenin farklı pozisyonlarını ve farklı referans noktalarına bağlı olarak pozisyonundaki değişiklikleri zihinsel olarak hayal etme yeteneğinin ve bu fikri görüntüde sabitleme yeteneğinin geliştirilmesi; geometrik gerçeklerin mantıksal gerekçelerinin öğretilmesi; tasarım yeteneklerinin geliştirilmesi, modelleme; araştırma becerilerinin geliştirilmesi.

Görev 1. Üst sıradaki şekilleri dikkatlice inceleyin:

“?” yerine hangi rakam? alt sıradan mı yerleştirilmelidir?

Cevap: "b".

Problem 2. Küpün ön yüzüne 1, arkasına 2, üst kısmına 3, alt kısmına 6, sağ tarafına 5 ve soluna 4 nokta çizilmiştir. Bu noktalardan en büyüğü kaçtır? Bu küpü elinizde çevirerek aynı anda görebilir misiniz?

Cevap: 13 puan.

Problem 3. Bir zarın karşılıklı iki yüzündeki toplam nokta sayısı 7'dir. Kolya bu tür 6 küpten oluşan bir sütunu yapıştırdı ve tüm dış yüzlerdeki toplam nokta sayısını saydı. Alabileceği en büyük sayı nedir?

Cevap: 96 numara.

Görev 4. Şekilde gösterilen küpü 7. kareye ulaşacak ve aynı zamanda 6 köşeli yüzü üstte olacak şekilde 6 hamlede yuvarlayın. Ve her harekette küpü çeyrek tur yukarı, aşağı, sola veya sağa hareket ettirebilirsiniz, ancak çapraz olarak hareket ettiremezsiniz.

Görev 5. Resimde Bulmacalar Ülkesi'nin kralının bir vahşiyle nasıl zar attığını görüyorsunuz.

Bu alışılmadık bir oyun. Bu oyunda, bir zar atan bir oyuncu, üst tarafa düşen sayıyı dört yan yüzeyden birindeki herhangi bir sayıyla toplar. Ve rakibi üç yan yüzdeki diğer tüm sayıları topluyor. Alt kenardaki sayı dikkate alınmaz. Her ne kadar matematikçiler zarı atan kişinin rakibine göre ne kadar avantajlı olduğu konusunda hemfikir olmasalar da, bu basit bir oyundur. Şu anda vahşi bir zar atıyor ve bu atış sonucunda şah 5 puan önde oluyor. Söylesene, zarların üzerine hangi sayı düşmeliydi?

Prenses Riddle, vahşinin kazancının puanını tutuyor. Bu sayı, vahşilerin aşina olduğu Bungalozo sistemine tercüme edilirse, daha da büyük olduğu ortaya çıkacaktır. Bungalosia'nın vahşileri, çok iyi bildiğimiz gibi, her ellerinde yalnızca üç parmak bulundurduklarından, altı basamaklı sayı sistemine alışkındırlar. Bu, temel aritmetik alanında ilginç bir sorunu gündeme getiriyor: Okuyucularımızdan 109.778 sayısını Bungalov sistemine dönüştürmelerini istiyoruz, böylece vahşi kaç altın kazandığını bilecek.

Çözüm. Zar bir tane yukarıya inmelidir. Buraya yan kenardaki 4'ü eklerseniz toplam 5 verir. Yan kenarlarda kalan sayıların (5, 2 ve 3) toplamı 10 olur, bu da diğer oyuncuya 5 puanlık avantaj sağlar. Altılı sistemde 109778 sayısı 2204122 olarak yazılır. Sağdaki rakam birleri, sonraki rakam altılı sayısını, sağdan üçüncü rakam “otuz altı” sayısını, dördüncü rakam ise “otuz altı” sayısını temsil eder. 216'nın "bölüm" sayısını vb. gösterir. Bu sistem ondalık sayı sisteminde olduğu gibi 10'un kuvvetleri yerine 6'nın kuvvetlerine dayanmaktadır.

Cevap: 2204122.

Problem 6. Küpün alt tarafında 6, sol tarafında 4 ve arka tarafında 2 nokta bulunmaktadır. Bu küpü kendi ekseninizde çevirirken aynı anda görülebilecek en fazla nokta sayısı nedir? eller?

Cevap: 13 puan.

Problem 7. İşte bir zar: yüzlerinde 1'den 6'ya kadar noktaların işaretlendiği bir küp.

Peter, zarları art arda dört kez atarsanız, dört kez de zarların mutlaka bir kez tek puan yukarıya düşeceğini iddia ediyor. Vladimir, dört atıştan sonra tek bir sayının ya hiç gelmeyeceğini ya da birden fazla kez geleceğini iddia ediyor. Hangisinin kazanma ihtimali daha yüksek?

Çözüm. Dört atışta zarın olası tüm konumlarının sayısı 6 mıdır? 6? 6? 6 = 1296. İlk atışın gerçekleştiğini ve sonucun tek nokta olduğunu varsayalım. O halde, sonraki üç atışta Peter'ın lehine olan tüm olası konumların sayısı, yani biri dışındaki puanların sayısı 5'tir? 5? 5 = 125. Aynı şekilde, yalnızca ikinci atışta, yalnızca üçüncü atışta veya yalnızca dördüncü atışta tek bir sayı gelirse Peter için uygun 125 konum mümkündür. Yani tek bir noktanın dört 6 damlada bir kez ve yalnızca bir kez görünmesi için 125 + 125 + 125 + 125 = 500 farklı olasılık vardır. Diğer tüm durumlar olumsuz olduğundan 1296 – 500 = 796 olumsuz olasılık vardır.

Cevap: Vladimir'in kazanma şansı Peter'dan daha fazla: 796'ya karşı 500.

Problem 8. Bir zar atılıyor. 4 puan alma olasılığını belirleyin.

Çözüm. Bir zarın 6 yüzü vardır ve üzerlerinde 1'den 6'ya kadar noktalar işaretlenmiştir. Atılan bir zar bu 6 kenardan herhangi birine düşebilir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir sayıyı gösterebilir. Yani elimizde toplam 6 eşit olası durum var. . 4 noktanın ortaya çıkması yalnızca 1 tarafından tercih edilir. Dolayısıyla tam olarak 4 noktanın ortaya çıkma olasılığı 1/6'dır. Bir zarın atılması durumunda, diğer tüm kemiklerin düşme olasılığı 1/6 olacaktır.

Cevap: 1/6.

Problem 9. Bir kez 2 zar atarak 8 puan alma olasılığı nedir?

Çözüm. 2 zar atıldığında meydana gelebilecek tüm eşit olası durumların sayısını aşağıdaki hususlara dayanarak hesaplamak zor değildir: her zar atıldığında, kendi durumu için 6 eşit olası durumdan 1'ini verir. Bir kemik için bu tür 6 vaka, başka bir kemik için 6 vaka ile her şekilde birleştirilir ve böylece sadece 2 kemik 6 ortaya çıkar? 6 = 6 2 = 36 eşit olası durum. Geriye toplam 8'in ortaya çıkması için uygun olan tüm eşit olası durumların sayısını saymak kalıyor. Burada mesele biraz daha karmaşık hale geliyor.

2 zarla 8 toplamının ancak aşağıdaki şekillerde atılabileceğini anlamalıyız (Tablo 1).

tablo 1

Toplamda beklenen olaya uygun 5 vakamız var.

Cevap: Zarın toplam 8 puan gelme olasılığı 5/36'dır.

Problem 10. 2 zarı 3 kez atın. En az bir kez çift atılma olasılığı nedir (yani her iki zarın da aynı sayıda puana sahip olması)?

Çözüm. Tüm eşit olası durumlardan 3b 3 = 46656 tane olacaktır. 2 zarlı 6 ikili vardır: 1 ve 1, 2 ve 2, 3 ve 3, 4 ve 4, 5 ve 5, b ve 6 ve her vuruşta bir tane bulunur. bunlardan mümkündür. Yani, her darbede 36 vakadan 30'u hiçbir durumda ikili vermez. Üç atışla: 30 3 = 27.000 çift olmayan durum ortaya çıkıyor. Dolayısıyla ikilinin ortaya çıkması için uygun durumlar 36 3 – 30 3 = 19 656 olacaktır. Arzu edilen olasılık 19656: 46656 = 0,421296'dır.

Cevap: 0,421 296.

Problem 11. Eğer bir zarı atarsanız, 6 yüzden herhangi biri üstte olabilir. Doğru (yani hilesiz) bir zar için bu sonuçların altısı da eşit derecede mümkündür. Birbirinden bağımsız olarak iki adil zar atılıyor. Üst yüzlerdeki noktaların toplamının olasılığını bulun:

a) 9'dan az; b) 7'den fazla; c) 3'e bölünebilir; d) eşit.

Çözüm. İki zar atıldığında, her bir elemanı 1'den 6'ya kadar bir tam sayı olan 36 çift olduğundan, 36 eşit olası sonuç vardır. İlk zardaki puan sayısının solda, sağda olduğu bir tablo oluşturalım. üstte ikinci, satır ve sütunun kesişiminde bunların toplamı bulunur (Tablo 2).

Tablo 2

Doğrudan hesaplama, üst yüzlerdeki noktaların toplamının 9'dan küçük olma olasılığının 26/36 = 13/18 olduğunu; bu miktarın 7 – 15/36 = 5/18'den büyük olduğu; 3'e bölünebilir: 12/36 = 1/3; son olarak çift sayıdır: 18/36 = 1/2.

Cevap: a) 13/18, b) 5/18, c) 1/3, d) 1/2.

Problem 12. Zar, “altı” rakamı görünene kadar atılıyor. Ödülün büyüklüğü, "altı"nın seri numarası ile üç rublenin çarpımına eşittir. Giriş ücreti 15 ruble ise oyuna katılmalı mıyım? Oyunun zararsız olması için giriş ücreti ne kadar olmalı?

Çözüm. Giriş ücretini hesaba katmadan bir rastgele değişkeni (test sonucunda yalnızca bir olası değeri alacak bir değer) ele alalım. X = (kazanç miktarı) = (3, 6, 9...) olsun. Bu rastgele değişkenin dağılım grafiğini oluşturalım:

Grafiği kullanarak, aşağıdaki formülü kullanarak matematiksel beklentiyi (beklenen kazancın ortalama değeri) buluruz:

Cevap. Matematiksel kazanma beklentisi (18 ruble) giriş ücretinden daha yüksektir, yani oyun oyuncu için uygundur. Oyunu zararsız hale getirmek için giriş ücretini 18 rubleye ayarlamanız gerekiyor.

Problem 13. Küpün karşıt taraflarındaki noktaların toplamı 7'dir. Küpün resimdeki gibi olması için nasıl yuvarlanacağı:

Sorun 14. Bir kumarhane, resimdeki gibi, bir zar atışı ile 6 gelmesi durumunda oyuncuya 100 £ bonus teklif ediyor:

Başarılı olmazsa bir atış daha yapabilir. Oyuncu bu girişim için ne kadar ödemelidir?

Cevap. Birincisi: 1/6=6/36, ikincisi: 5/6 1/6=5/36, 11/36 100 £=30,55 £

Problem 15. Bernard de Mandeville'in 19. yüzyılın başlarında “risk” olarak adlandırdığı bir oyundan dönüştürülen “zar” oyunu olarak adlandırılan bir casino oyunu, “a” şeklindeki gibi iki zarla (zarlarla) oynanır. " ve B" :

7 veya 11 galibiyet. Ve hangileri kaybediyor?

Cevap: 2 – 3 – 12.

Sorun 16. Görevin durumu şekilde gösterilmektedir:

“?” yerine hangi resim gelmeli? ?

Cevap: “bir”:

Problem 17. Muhtemelen bir küpün yüzeyini oluşturabileceğiniz küp geliştirmeleriyle karşılaşmışsınızdır. Bu tür farklı geliştirmelerin sayısı 11'dir. Şekilde küpün kendisinin ve gelişiminin bir görüntüsünü görüyorsunuz:

Küpün yüzlerinde 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları yazılıdır ancak biz sadece ilk üç sayıyı görüyoruz ve geri kalan sayıların nasıl konumlandığını “a” taramasından anlıyoruz. Aynı küpün "b" taramasını alırsak, oradaki sayılar farklı bir sıraya göre düzenlenir, ayrıca baş aşağı çıkarlar. “A”, “b” taramalarını inceledikten sonra, kalan dokuz taramaya, önerilen küpe karşılık gelecek şekilde beş sayı koyun:

Karşılık gelen açılmaları kesip katlayarak cevabınızı kontrol edin.

Problem 18. Bir küpün yüzlerine 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayıları karşılıklı herhangi iki yüzdeki sayıların toplamı 7 olacak şekilde yazılmıştır. Şekilde bu küp gösterilmektedir:

Sunulan taramaları (a-d) yeniden çizin ve eksik sayıları gereken sıraya göre üzerlerine yerleştirin.

Cevap. Sayılar şekilde gösterildiği gibi düzenlenebilir:

Problem 19. Bir küpün geliştirilmesinde yüzleri numaralandırılmıştır:

Bu gelişmeden (b-d) birbirine yapıştırılmış küpün karşıt yüzlerinin sayısını çiftler halinde yazın.

Cevap: (6; 3), (5; 2), (4; 1).

Problem 20. Küpün kenarında 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları vardır. Şekilde (a, b, c) bu küpün üç konumu gösterilmiştir:

Her durumda alt kenarda hangi sayının olduğunu belirleyin. Bu küpün (d, e) taramalarını yeniden çizin ve eksik sayıları üzerlerine koyun.

Cevap. Alt yüzlerde 1, 5, 2; eksik sayılar şekilde gösterildiği gibi girilebilir:

Problem 21. Bu gelişmeye göre üç küpten hangisi katlanabilir:

Cevap: "B".

Sorun 22. Geliştirme masaya boyalı kenarla yapıştırılmıştır:

Zihinsel olarak yuvarlayın. Küpün bir okla gösterilen taraftan baktığınızı hayal edin. Hangi kenarı görüyorsun?

Cevap: 1) A – 1, B – 4, C – 5; 2) A – 3, B – 2, C – 1.

Referanslar

1. Bizam D., Herceg Y. Oyun ve mantık. 85 mantıksal problem / çev. Macar'dan Yu.A. Danilova. – M.: Mir, 1975. – 358 s.
2. 4-5. Sınıflarda matematikte ders dışı çalışma / ed. Sİ. Shvartsburgda. – M.: Eğitim, 1974. – 191 s.
3. 6-8 / ed. Sınıflarda matematikte ders dışı çalışma. Sİ. Shvartsburgda. – M.: Eğitim, 1977. – 288 s.
4. Gardner M. Hadi tahmin et! / başına İngilizceden – M.: Mir, 1984. – 213 s.
5. Gardner M. Matematiksel mucizeler ve gizemler: çev. İngilizceden / ed. G.E. Shilova. – 5. baskı. – M.: Nauka, 1986. – 128 s.
6. Gardner M. Matematiksel boş zaman: çev. İngilizceden / ed. Ya.A. Smorodinsky. – M.: Mir, 1972. – 496 s.
7. Gardner M. Matematiksel kısa öyküler: çev. İngilizceden / ed. Ya.A. Smorodinsky. – M.: Mir, 1974. – 456 s.
8. Eğlenceli matematik. 5-11 sınıflar. (Matematik dersleri sıkıcı olmaktan nasıl çıkarılır) / Author.-comp. T.D. Gavrilova. – Volgograd: Öğretmen, 2005. – 96 s.
9. Kordemsky B.A. Matematiksel teşvikler. – M.: ONIX Yayınevi: Alliance-V, 2000. – 512 s.
10. Matematik: Entelektüel maratonlar, turnuvalar, savaşlar: 5-11. Sınıflar. Öğretmenler için kitap. – M.: “1 Eylül” Yayınevi, 2003. – 256 s.
11. Mosteller F. Çözümleriyle elli eğlenceli olasılıksal problem / çev. İngilizceden – M.: Nauka, 1985. – 88 s.
12. Matematik olimpiyat problemleri. 5-8 sınıf. Yarışmalar ve olimpiyatlar düzenlemek için 500 standart dışı görev: Öğrencilerin / yazarın yaratıcı özünün geliştirilmesi. N.V. Zobolotneva. – Volgograd: Öğretmen, 2005. – 99 s.
13. Perelman Ya.I. Eğlenceli görevler ve deneyler. – M.: Çocuk edebiyatı, 1972. – 464 s.
14. Russell K., Carter F. İstihbarat eğitimi. – M.: Eksmo, 2003. – 96 s.
15. Sharygin I.F., Shevkin A.V. Matematik: yaratıcılık için görevler: ders kitabı. 5-6 sınıf için ödenek. Genel Eğitim